אני בהחלט לא המבין הגדול בתחום הזה והוא אפילו כבר הספיק להתיש אותי מספיק בזמן התואר הראשון, אבל בכל זאת יש רגעים בהם אני נפעם מחדש מחוסר האינטואיטיביות והקסם שפורצים החוצה לנוכח האמת הפשוטה והברורה שקוראת רק במתמטיקה (או שאולי גם בגידול ילדים, אבל את זה אני לא יודע).
בשבועות האחרונים זה קרה פעמיים, חיפשתי דברים מטופשים באינטרנט כדי להעביר כמה דקות בין עבודה לעבודה ונתקלתי בשני כתבות עם חידה בכל אחת מהן*. הכתבות החלו במשטים בסגנון הבא "בכנס מתמטיקאים בשנת..." ו "זה לא המקרה הסטנדרטי של פרדוקס ה...". ההתחלות נשמעו מבטיחות והמשכתי לקרוא.
הכתבה הראשונה עסקה בחידת האבא עם שני ילדים - "בהינתן אבא עם שני ילדים וכאשר אחד מהם הוא בן, מה ההסתברות שיש לו שני בנים?". עד כה, לא מעניין - חישוב פשוט מראה שההסתברות היא 1/3. ועכשיו מגיעה ההרחבה המרגשת והמפעימה - "מה ההסתברות שיש לו שני בנים אם ידוע שאחד מהם הוא בן, ושהוא (הבן) נולד ביום חמישי?" מה לעזאזל?! מה הקשר ליום חמישי? מה אכפת לי בכלל? אמרתי לעצמי ושמחתי לגלות ששאר המתמטיקאים בכנס אמרו את זה לעצמם גם כן. אז מתברר שיש קשר, ומאד מאד אכפת לנו שהבן שלו נולד ביום חמישי, זה או כל נסיבה אחרת בסגנון "הבן אוהב את הטעם אוממי", או "הבן אוהב את הצבע ירוק". חישוב הסתברותי פשוט מעולם לא ריגש אותי ככה.
הכתבה השנייה הציגה שאלה הזויה בהרבה, "בהנתן שיש שתי מעטפות עם סכום כסף (גדול מאפס) בכל אחת (כאשר כמות הכסף נבחרה באקראי אם איזו התפלגות והסכום לאו דווקא חסום). אנחנו נדרשים לבחור במעטפה, כאשר המטרה שלנו לבחור את המעטפה עם הסכום הכסף הגדול מבין השתיים בהסתברות גדולה מ1/2." ברגע שסיימתי לקרוא את השאלה ממש רציתי לפתור אותה, אבל הפתרון היה שני משפטים למטה, וגם ממש רציתי לדעת מה כתוב שם, אז אני לא אעשה את מה שהכתבה ההיא עשתה לי, וכאן לא יהיה את הפתרון שתי שורות למטה. תנסו לבד.
טוב, אז אם זה לא היה ברור, עכשיו תורכם לפתור.
מי מצליח ו/או מזדהה עם ההתלבהות שלי מהנושא מוזמן לפרסם תשובות וחידות נוספות למטה.
-------------
* בדרך כלל אני מאד סקפטי לגבי חידות כיוון שלרוב האנשים חידה טובה היא חידה עם משחק מילים אשר גורמ לך לחשוב למה לעזאזל בזבזת יותר מ10 שניות על הנושא, בדרך כלל אחרי חוסר ההצלחה להבין באות המכות הנמרצות.
בשבועות האחרונים זה קרה פעמיים, חיפשתי דברים מטופשים באינטרנט כדי להעביר כמה דקות בין עבודה לעבודה ונתקלתי בשני כתבות עם חידה בכל אחת מהן*. הכתבות החלו במשטים בסגנון הבא "בכנס מתמטיקאים בשנת..." ו "זה לא המקרה הסטנדרטי של פרדוקס ה...". ההתחלות נשמעו מבטיחות והמשכתי לקרוא.
הכתבה הראשונה עסקה בחידת האבא עם שני ילדים - "בהינתן אבא עם שני ילדים וכאשר אחד מהם הוא בן, מה ההסתברות שיש לו שני בנים?". עד כה, לא מעניין - חישוב פשוט מראה שההסתברות היא 1/3. ועכשיו מגיעה ההרחבה המרגשת והמפעימה - "מה ההסתברות שיש לו שני בנים אם ידוע שאחד מהם הוא בן, ושהוא (הבן) נולד ביום חמישי?" מה לעזאזל?! מה הקשר ליום חמישי? מה אכפת לי בכלל? אמרתי לעצמי ושמחתי לגלות ששאר המתמטיקאים בכנס אמרו את זה לעצמם גם כן. אז מתברר שיש קשר, ומאד מאד אכפת לנו שהבן שלו נולד ביום חמישי, זה או כל נסיבה אחרת בסגנון "הבן אוהב את הטעם אוממי", או "הבן אוהב את הצבע ירוק". חישוב הסתברותי פשוט מעולם לא ריגש אותי ככה.
הכתבה השנייה הציגה שאלה הזויה בהרבה, "בהנתן שיש שתי מעטפות עם סכום כסף (גדול מאפס) בכל אחת (כאשר כמות הכסף נבחרה באקראי אם איזו התפלגות והסכום לאו דווקא חסום). אנחנו נדרשים לבחור במעטפה, כאשר המטרה שלנו לבחור את המעטפה עם הסכום הכסף הגדול מבין השתיים בהסתברות גדולה מ1/2." ברגע שסיימתי לקרוא את השאלה ממש רציתי לפתור אותה, אבל הפתרון היה שני משפטים למטה, וגם ממש רציתי לדעת מה כתוב שם, אז אני לא אעשה את מה שהכתבה ההיא עשתה לי, וכאן לא יהיה את הפתרון שתי שורות למטה. תנסו לבד.
טוב, אז אם זה לא היה ברור, עכשיו תורכם לפתור.
מי מצליח ו/או מזדהה עם ההתלבהות שלי מהנושא מוזמן לפרסם תשובות וחידות נוספות למטה.
-------------
* בדרך כלל אני מאד סקפטי לגבי חידות כיוון שלרוב האנשים חידה טובה היא חידה עם משחק מילים אשר גורמ לך לחשוב למה לעזאזל בזבזת יותר מ10 שניות על הנושא, בדרך כלל אחרי חוסר ההצלחה להבין באות המכות הנמרצות.
לגבי הראשונה - כל ילד יכול להיות בן או בת, ולהיוולד בכל אחד מימות השבוע (בהסתברות שווה). ישנן 27 אפשרויות כאלו עם בן שנולד ביום חמישי, מתוכן 13 אפשרויות עם שני בנים, ולכן ההסתברות לשני בנים היא 13/27.
השבמחקלגבי השניה - אני לא באמת יודע. אני הייתי פותח אותן וסופר באיזו יש יותר כסף, אבל זו כנראה לא הכוונה :) אח"כ הייתי מציע להעריך לפי משקל, אבל גם זו כנראה לא הכוונה. אם נניח אני יודע כמה כסף יש באחת מהן, ואת פונקציית התפלגות ההסתברות, אז אם ההסתברות לכמות נמוכה משקיבלתי קטנה מחצי אני אשאר איתה, ואחרת אקח את השניה. אם לא - אז אני אשמח אם תבהיר בדיוק מה כן נתון לי ומה לא (סכום הכסף באחת המעטפות? ההתפלגות? היחס בין המעטפות? משהו?)
-אחו.
לגבי החידה השניה, באמת שלא נתון כלום.
השבמחקאתה לא יודע את פונקציית ההתפלגות, אין חסם עליון, אין משקל וגם מגדת העתידות בשביתה.
אתה יודע שסכום הכסף הוא חיובי ושונה בין שתי המעטפות ומבקשים ממך הסתברות הצלחה של 1/2 פלוס אפסילון
אם כך אז אני אבחר במעטפה הימנית!
השבמחק